Двоичная система счисления
История создания современной двоичной системы
Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе.
Двоичная
система счисления —
это позиционная система счисления, построенная на позиционном принципе записи чисел, с
основанием 2. В ней используются только два знака — цифры 0 и 1; при этом значение цифры зависит дополнительно от занимаемого ею места.
В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов: 0 и 1.
Двоичную цифру называют.
Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют
следующую таблицу степеней основания 2:
1024
|
512
|
256
|
128
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая
стоит после 1, называется двоичной точкой.
Арифметические операции в
позиционных системах счисления
Арифметические операции во всех
позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным
вам правилам.
Сложение. Рассмотрим
сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица
сложения одноразрядных двоичных чисел:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
При сложении двух единиц
происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд.
Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится
равной или большей основания.
Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с
вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших
разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и
112:
Проверим
правильность вычислений сложением в десятичной системе
счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их
сложим:
1102 = 1 × 22 +
1 × 21 + 0 × 20 = 610;
112 = 1 × 21 +
1 × 20 = 310;
610 + 310 = 910 .
Вычитание
многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной
таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве
примера произведем вычитание двоичных чисел 1102 и 112:
Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных
двоичных чисел.
Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 1102 и 112.
Деление. Операция деления
выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в
десятичной системе счисления.
Применение двоичной системы счисления
В 1854 году английский математик Джордж Буль опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике, которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики. Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.
В 1854 году опубликовал работу «Исследование законов мышления, базирующихся на математической логике и теории вероятностей».
Работы 1847 и 1854 годов положили начало алгебре логики, или булевой алгебре. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают только два варианта ответов – правда или дезинформация, ноль или единица.
Он придумал систему обозначений и правил, пользуясь которыми позволительно было закодировать любые высказывания, а следом манипулировать ими как обычными числами.
Булева алгебра располагала тремя основными операциями – И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли изготовлять сложение, вычитание, умножение, деление и соотнесение символов и чисел.
Таким образом, Булю удалось досконально обрисовать двоичную систему счисления. В своей работе «Законы мышления» (1854 г.) Буль совершенно сформулировал основы математической логики.
Он кроме того попытался сформулировать групповой способ вероятностей, с помощью которого из заданной системы вероятных событий позволительно было бы обусловить вероятность последующего события, логически связанного с ними.
В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
· Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
· Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора , что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.
· Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами.
Столь привычная для нас десятичная система оказалась неудобной для ЭВМ. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент с множеством состояний (колесо с девятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях.
Наиболее просто реализуется элементы с двумя состояниями. Поэтому естественным был переход на двоичную систему. В этой системе всего две цифры - 0 и 1 . Каждая цифра называется двоичной. Сокращение от этого выражения привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа.
Комментариев нет:
Отправить комментарий